Question

小华玩某种游戏，每局可随意玩若干次，每次得分是8，a（自然数），0这三个数中的一个，每局各次得分的总和叫做这一局的总积分，小华曾得到过这样的总积分：103，104，105，106，107，108，109，110，又知道他不可能得到“83分”这个总积分．问：a是多少？

Answer 1

分析：83+8×3=107，所以在得到总积分107时，得（8分）的局数必定小于3（否则83=107-3×8可以得到），即得（8分）的局数为0、1或2，从而107，107-1×8=99，107-2×8=91这三个数中必有一个是a的倍数．然后进行验证，解决问题．

解答：解：83+8×3=107，所以在得到总积分107时，得（8分）的局数必定小于3（否则83=107-3×8可以得到），即得（8分）的局数为0、1或2，从而107，107-1×8=99，107-2×8=91这三个数中必有一个是a的倍数．
如果107是a的倍数，那么a=1或107，但a=1时，可以得到总积分83；a=107时，无法得到总积分103，所以这种情况不可能发生．
如果99是a的倍数，那么a=1，3，9，11，33，99．
因为83=9×3+8×7=11+8×9，所以a不能是1，3，9，11（否则83可以得到）．
因为103=99+14=33+70=2×33+37，所以a=99或33时，无法得到总分103．
因此这种情况也不可能发生．
如果91是a的倍数，那么a=1，7，13，91，因为83=7×5+8×6，所以a≠7.1 103=91+12，所以a≠91．
因此a=13，不难验证a=13符合要求．

点评：此题也可这样解答：
1．由于103到110连续八个自然数都是可得分数，这八个数中，既有偶数，也有奇数，因此a必是奇数．
2．由于106=8×13+2，2=2×1
=8×12+10，10=2×5
=8×11+18，18=2×9=6×3
=8×10+26，26=2×13
=8×9+34，34=2×17
=8×8+42，42=2×21=6×7=14×3
=8×7+50，50=2×25=10×5
=8×6+58，58=2×29
=8×5+66，66=2×33=6×11=22×3
=8×4+74 74=2×37
=8×3+82，82=2×41
=8×2+90，90=2×45=6×15
=10×9=18×5=30×3
=8×1+98，98=2×49=14×7
=8×0+106，106=2×53．
因为106是可得分数，从上面的拆分来看，要凑出106，a应是1、3、5、7、9、11、13、15、17、21、25、29、33、37、41、45、49、53中的某一个奇数．由于108=8×13+4，4=4×1
=8×12+12，12=4×3
=8×11+20，20=4×5
=8×10+28，28=4×7
=8×9+36，36=4×9
=8×8+44，44=4×11
=8×7+52，52=4×13
=8×6+60，60=4×15
=8×5+68，68=4×17
=8×4+76，76=4×19
=8×3+84，84=4×21
=8×2+92，92=4×23
=8×1+100，100=4×25
因为108是可得分数，从上面的拆分来看，要凑出108，a应是1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、21、23、25、27中的某一个奇数．
结合上面的分析，要同时凑出106、108这两个数，a只能是1、3、5、7、9、11、13、15、17、21这十个奇数中的某一个．由于83=8×10+3 3=3×1
=8×9+11，11=11×1
=8×8+19，19=19×1
=8×7+27，27=3×19=27×1
=8×6+35，35=5×7=35×1
=8×5+43，43=43×1
=8×4+51，51=3×17=51×1
=8×3+59，59=59×1
=8×2+67 67=67×1
=8×1+75，75=3×25=5×15=75×1
因为83是不可得分数，从上面的拆分来看，a不能是1、3、5、7、9、11、15、17、19、25、27、35、43、51、59、67、75这十七个奇数中的任何一个．结合上面的分析可知，a只能是13或21．
3．确定a
如果a=21，21是奇数，8和110都是偶数，所以用21和8凑110时，21应取偶数个．因为110-21×2=68，68÷8=8…4；110-21×4=26，26÷8=3…2；21×6＞110，所以，a≠21．
下面检验a=13是否满足题意．
由于103=8×8+3×13
104=8×13
105=8×5+5×13
106=8×10+2×13
107=8×2+7×13
108=8×7+4×13
109=8×12+1×13
110=8×4+6×13
因此，a=13是满足题意的唯一的解．