Question

（2012?武汉模拟）如图，两个半径相等的圆A和圆B相交，三角形BCD是等腰直角三角形，其面积为60cm²，四边形ABCD是平行四边形，求图中阴影部分的面积．（π取3.14）

Answer 1

分析：ABCD是平行四边形，三角形BCD是等腰直角三角形，所以三角形ABD也是等腰直角三角形，它的面积也是60平方厘米，由此可以求出每个圆半径的平方是多少；阴影部分的面积是两圆重合部分面积的一半，而重合部分由两个相等的弓形组成，我们只需要求出一个弓形面积，就是要求的阴影面积了．连接圆心B和另一个两圆的交点M，以及连接D和M，组成一个扇形；三角形DBM也是等腰直角三角形，那么∠DBA就是45°，一个弓形的圆心角就是90°，再求出圆心角是90°的扇形的面积减去三角形DBM的面积就是一个弓形的面积，也就是阴影部分的面积．

解答：解：连接圆心B和另一个两圆的交点M，以及连接D和M，如图：

阴影部分的面积是一个弓形的面积；
三角形BCD是等腰直角三角形，所以三角形ABD也是等腰直角三角形，它的面积也是60平方厘米，
圆的半径BD的平方就是60×2=120（平方厘米）；
∠DBA=45°，
那么∠MBD=90°；
三角形MBD也是一个等腰直角三角形；
弓形DM的面积=扇形DBM的面积-三角形DBM的面积，

90°

360°

×（π×BD²）-

1

2

×BD²，
=

1

4

×（3.14×120）-

1

2

×120，
=94.2-60，
=34.2（平方厘米）；
答：阴影部分的面积是34.2平方厘米．

点评：连接圆心线，与图中的半径组成了等腰直角三角形，从而得出弓形所对的圆心角的度数是解决此类问题的关键．