Question

分母是2的真分数有：

1

2

．
分母是3的真分数有：

1

3

、

2

3

，它们的和是1．
分母是4的真分数有：

1

4

、

2

4

、

3

4

，它们的和是1

1

2

．
分母是5的真分数有：

1

5

、

2

5

、

3

5

、

4

5

，它们的和是2．
…
请你仔细观察，根据发现的规律，解答下面的问题：
①分母是2005的所有真分数的和是多少？
②分母不超过2005的所有真分数的和是多少？

Answer 1

分析：这些真分数的和是：

1

2

，1，1

1

2

，2，2

1

2

…这些数可以看成是首项是

1

2

，公差是

1

2

的等差数量；
①根据等差数列的通项公式，求出第2005项即可；
②根据等差数列的求和公式，求出前2005项的和即可．

解答：解：①

1

2

+（2005-1）×

1

2

，
=

1

2

+2004×

1

2

，
=

1

2

+1002，
=1002

1

2

；
答：分母是2005的所有真分数的和是1002

1

2

．

②（

1

2

+1002

1

2

）×2005÷2，
=1003×2005÷2，
=1005507.5；
答：分母不超过2005的所有真分数的和是1005507.5．

点评：本题考查了等差数列：通项公式是：a_n=a₁+（n-1）d；前n项和公式为：S_n=n（a₁+a_n）÷2．