Question

现有100个物体，其重量分别为l，2，3，…，100克．设它们可以用有8个重量为整数的砝码的天平分别称出其重量．请问最重的砝码的最小可能值是多少克？（并请写出所选八个砝码的重量）（规定称的时候，物体只能放在天平的右边，砝码只能放在天平的左边．）

Answer 1

考点：最大与最小

专题：传统应用题专题

分析：首先此题是一道关于砝码的计数问题，涉及到最值问题和抽屉原理．我们直接使用最基本的数学逻辑来进行推论和解答．
从最后所求进行分析，要求第二重的砝码最少，无法进行直接突破，使用的是最值原理的重点思路之一：从反面考虑．第二重砝码最少，那么就应该使其他的砝码尽量大．据此推理．

解答： 解：①10个砝码的总重量很显然应该是100克．
②其中最重的砝码应该最大是100克．
③最小的砝码很显然必须是1克．下一个按道理还可以是1克，这样就可以称出2克物品，所以第二小的砝码最大应该是2克．
④第三小的砝码．可以确定是4克．
⑤同理第四小的砝码，应该是8克
⑥依此类推，其他砝码依次为16，32，6…
⑦8个砝码总和应该是100克，要使得最重的尽量少（其实是10个中第二重的），那么后面的就不需要那么大了．
⑧假设前面6个砝码为1、2、4、8、16、32…那么显然最重的应该为32，不一定是最少的，
⑨假设前面5个砝码为1、2、4、8、16，那么还有3个总和为100-31=69，根据抽屉原理，可分配为23、23、23，最重的为23，这是最少的．
综上，八个砝码的重量为：1，2，4，8，16，23，23，23；其中最重的砝码的重量为23．

点评：1、此题的难度很大，考察到了最值问题，最值问题是数学中的重要专题，最值问题最重要的思想就是某数的最大一定对应着其他数的最小．
2、此题的分析思路都要注意到两个限制条件：“砝码尽量大”的原则和“能称出1，2，3，…，200的所有整数克的物品来”的前提．两个条件互相综合才得到前面砝码呈现1，2，4，8…的规律．
3、同时还渗透了抽屉原理．