Question

将三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数正好是91的倍数，试求ab=？

Answer 1

分析：把91分解质因数可得：91=7×13，然后再根据数的整除性质与能被7（或13）整除的数的特征进一步解答即可．

解答：解：因为91=7×13，并且7与13互质，所以，7能整除

.

3ab3ab…3ab

，13能整除

.

3ab3ab…3ab

；
根据一个数能被7或13整除数的特征可知：
原数

.

3ab3ab…3ab

能被7以及13整除，当且仅当

.

3ab…3ab

（1992组

.

3ab

）-

.

3ab

能被7以及13整除，也就是

.

3ab…3ab000

（1991组）能被7以及13整除；
因为7与10互质，13与10互质，所以，7能整除

.

3ab…3ab000

（1991组），13能整除

.

3ab…3ab000

（1991组），也就是7能整除

.

3ab…3ab

（1991组），13能整除

.

3ab…3ab

（1991组），因此，用一次性质（特征）
，就去掉了两组

.

3ab

，反复使用性质996次，最后转化为：原数能被7以及13整除当且仅当3ab能被7以及13整除；
又因为91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3；
所以，

.

3ab

=364；
因此，ab=64．

点评：数的整出性质：
性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除；
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a；
性质3：如果b、c的都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a；
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．
一个数能被7（或13）整除，那么这个数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（或13）整除．
然后根据数的整除性质与能被7（或13）整除的数的特征进一步解答即可．