Question

把边长为1cm的正方形如图那样一层、两层、三层…拼成图形．先填表，再解答下面的问题．

（1）第n个图形的周长是多少厘米？
（2）第n个图形的面积是多少平方厘米？
（3）一个图形的周长是40厘米，这个图形的面积是多少平方厘米？

Answer 1

分析：（1）首先注意摆放的方式．计算其周长时，注意找个起点，再回到这个起点．
（2）（3）第n个图形有n层，小正方形的个数一共有：1+2+3+…+n个，每个小正方形的面积是1平方厘米，据此即可求出它的面积．

解答：解：（1）一层时的周长是：1×4=4（厘米）；
两层时的周长是：2+1+1+1+1+2=8（厘米）；
三层时的周长是：3+1+1+1+1+1+1+3=12（厘米）；
四层时的周长是：4+1+1+1+1+1+1+1+1+4=16（厘米）；
它们的周长组成的数列是4，8，12，16，…它们的周长是层数×4厘米；
当n层时周长就是n×4=4n（厘米）．

（2）（1+2+3+…+n）×1×1=

n(n+1)

2

（平方厘米），
答：第n个图形的面积是

n(n+1)

2

平方厘米．

（3）当4n=40时，
        n=10，
所以面积是：

10(10+1)

2

=55（平方厘米），
答：它的面积是55平方厘米．

点评：关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．注意由特殊到一般的归纳方法．