Question

在自然数中，1²=1，2²=4，3²=9，…，数 1，4，9，…称为完全平方数．若自然数 N=

12+12+…+12

m个12

（1≤m≤2011）是一个完全平方数，则这样的 N有

25

个．

Answer 1

分析：若自然数 N=

12+12+…+12

m个12

（1≤m≤2011）是一个完全平方数，即12m是个完全平数，又N=12m=3×2²×m，所以m应为3p，且p为一个完全平方数，即N=12×3p，又1≤m≤2011，则N的个数取决于p的取值范围，因此，根据m的取值范围求出p的取值范围即可．

解答：解：因为N=12m=m=3×2²×m，
所以m应为3p，且p为完全平方数，
又1≤m≤2011，2011÷3=670…1，
即1≤p≤670，
26²=676≥670，
所以p的范围是1到25．
所以，这样的 N有是25个．
答：这样的 N有25个．
故答案为：25．

点评：完成本题的关键是根据完全平方数性质推出m的取值特点．