Question

一个大于0的整数的每一个数字不是7就是9，但不全是7也不全是9，并且它是7和9的倍数，满足上述条件的最小正整数是多少？

Answer 1

分析：因为数字只包括7和9，那我们设有x个7，y个9，则所有数位的数字之和为7x+9y，得到的值必须是9的倍数，设7x+9y=9z，推得7x=9（z-y）；要使数字要最小，则先考虑x为9的情况，即该数字中至少有9个7，则该数字各数位的和至少是7×9=63；则Y的值可以从1开始随便取，该数字一定是9的倍数；开始讨论，（1）若y为1，即数字中有9个7，1个9，且把9先看成是7+2；设该数字为7777777777+2×10ⁿ，要使该数字要为7的倍数，则2×10ⁿ要为7的倍数，显然不可能；（2）若y为2，即数字中有9个7，2个9，设该数字为77777777777+2×10ⁿ+2×10^m；要使该数字要为7的倍数，则2×10ⁿ+2×10^m要为7的倍数；因为要最小，所以n取0开始试；当n取1时，2×10ⁿ+2×10^m=22不成立；当n取2时，2×10ⁿ+2×10^m=202不成立；当n取3时，2×10ⁿ+2×10^m=2002成立；所以该数字为77777777777+2×10⁰+2×10³=77777779779．

解答：解：因为数字只包括7和9，那我们设有x个7，y个9，则所有数位的数字之和为7x+9y，得到的值必须是9的倍数，
设7x+9y=9z，推得7x=9（z-y）；
要使数字要最小，则先考虑x为9的情况，即该数字中至少有9个7，
则该数字各数位的和至少是7×9=63；则y的值可以从1开始随便取，该数字一定是9的倍数；
开始讨论，（1）若y为1，即数字中有9个7，1个9，且把9先看成是7+2；
设该数字为7777777777+2×10ⁿ，要使该数字要为7的倍数，则2×10ⁿ要为7的倍数，显然不可能；
（2）若y为2，即数字中有9个7，2个9，设该数字为77777777777+2×10ⁿ+2×10^m；
要使该数字要为7的倍数，则2×10ⁿ+2×10^m要为7的倍数；
因为要最小，所以n取0开始试；当n取1时，2×10ⁿ+2×10^m=22不成立；
当n取2时，2×10ⁿ+2×10^m=202不成立；
当n取3时，2×10ⁿ+2×10^m=2002成立
所以该数字为77777777777+2×10⁰+2×10³；
=77777779779；
答：满足上述条件的最小正整数是77777779779．

点评：关键是根据题意设出未知量，再根据题意和倍数的意义，分类讨论得出符合要求的答案．