Question

八个学生8道问题．
（a）若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生中的一个解出．
（b）如果每道题只有4个学生解出，那么（a）的结论一般不成立．试构造一个例子说明这点．

Answer 1

分析：（a）设解题最多的人解出d道题．将解出的题数相加，八个人至多解出8d道，另一方面，每题至少被5个人解出，八个人至少解出8×5道题．所以8d≥8×5，可得d≥5，又因为d≤8，据此分析即可解答；
（b）列一个8×8的表格，当其中一人答对4题时，对于剩下的4题，其他7人不能保证有人一全部答对，据此即可说明问题．

解答：解：（a）设解题最多的人解出d道题．将解出的题数相加，八个人至多解出8d道，
另一方面，每题至少被5个人解出，八个人至少解出8×5道题．
所以8d≥8×5，则d≥5
 d=8时，结论成立，
d=7时，必有人解出剩下的一道题，这两人为所求，
d=6时，剩下的两道题，各有5人解出，5+5＞7．所以至少有一人同时解出这两道题，他与解题最多的人为所求，
d=5时．另三道题每道各有5人解出，设这三道题是6，7，8，解出6的人数与解出7的人数之和为10，而除解题最多的人外只有7人，所以，有三人同时解出6，7二题，又解出8的人数为5，3+5=8＞7，所以必有一人同时解出6，7，8这三道题，他与解题最多的人为所求．

（b）如下表所示：

由上述推算可得：当其中一人答对4题时，对于剩下的4题，其他7人不能保证有人一全部答对，所以此时（a）不成立．

点评：此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用，难度较大，需要认真分析解答．