Question

用数字1至9组成一个九位数，使得它从左数前m位形成的数恰能被m整除（m=1、2、…、9），这个九位数是

 

．

Answer 1

考点：数的整除特征

专题：整除性问题

分析：由条件可知，从左数前m位形成的数恰能被m整除，则5一定在第5位，不妨设这个数为ABCDEFGHI，偶数位一定是偶数，奇数位一定是奇数．由此逐步分析得出答案即可．

解答： 解：设这个九位数为ABCDEFGHI，
通常想法是9！=362280种排列．
其实第5位E一定是5，这样可缩减到8!=40320种排列
进一步分析，偶数位一定是偶数（BDFH={2，4，6，8}），奇数位一定是奇数（ACGI={1，3，7，9}），因而只需分析

P

4 4

?

P

4 4

=576种排列．
继续分析，4能整除10×C+D，故D=2或6，加之8能整除10×G+H，故D，H={2，6}，所以B，F={4，8}，故需分析

P

4 4

?

P

2 2

?

P

2 2

=48种排列，
接着分析，3能整除100×D+10×5+F，所以DEF={258，654}，ABC，GHI能被3整除
如果DEF=258，则，ABC={147，741}，GHI={369，963}，但1472589，7412589均不能被7整除，不符合条件，故DEF=654，
B=8，H=2．此时只有

P

4 4

=24种排列
又7能整除A8C654G，故7整除（A+4C+G），而G={3，7}，如果G=3，ABC为{189，789，981，987}均不满足条件，故G=7，此时ABC={183，189，381，981}中只有381符合条件，故ABCDEFGHI=381654729；
故答案为：381654729．

点评：此题考查数的整除特征，掌握被一个数整除数的特征是解决问题的关键．