Question

10．判断分数$\frac{21n+4}{14n+3}$是不是最简分数？（n为自然数）

Answer 1

分析 此题可用反证法证明，先设21n+4与14n+3的最大公约数为x，设21n+4=ax，14n+3=bx，求出只存在最大公约数1，然后即可证明对任意自然数n，分数$\frac{21n+4}{14n+3}$都不可约分．

解答 解：设21n+4与14n+3的最大公约数为x，
设21n+4=ax①，14n+3=bx②，（a，b，x均为正整数），
②×3-①×2得：3bx-2ax=3（14n+3）-2（21n+4），
整理得：（3b-2a）x=1，
因为a，b，x均为正整数，
所以3b-2a为正整数，
所以x的值只能为1，
即最大公约数为1，
所以对任意自然数n，分数$\frac{21n+4}{14n+3}$都不可约分，也就是分数$\frac{21n+4}{14n+3}$是最简分数．
答：分数$\frac{21n+4}{14n+3}$是最简分数．

点评 本题考查了数的整除性，此题运用反证法证明21n+4和14n+3的最大公约数为1，即说明了无论自然数n取何值，分数分数$\frac{21n+4}{14n+3}$都不可约分，此题考查了同学们的逻辑思维能力，有一定的难度．