Question

一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120整除．这个正整数最小是多少？

Answer 1

考点：最大与最小

专题：整除性问题

分析：设这个数是a，已知条件说明：（1）a+75不是120的倍数（2）a+48不是120的倍数（3）（a+75）×（a+48）是120的倍数，因为120=2×2×2×3×5
a+75和a+48的奇偶性不同，所以只有四种可能：
（1）a+75是24的倍数且不是5的倍数，a+48是5的倍数且不是24的倍数．
（2）a+75是5的倍数且不是24的倍数，a+48是24的倍数且不是5的倍数
（3）a+75是40的倍数且不是3的倍数，a+48是3的倍数且不是40的倍数．这样的a不存在．
（4）a+75是3的倍数且不是40的倍数，a+48是40的倍数且不是3的倍数．这样的a不存在．
然后分情况进行讨论．

解答： 解：设这个数是a，已知条件说明：
（1）a+75不是120的倍数
（2）a+48不是120的倍数
（3）（a+75）×（a+48）是120的倍数
因为120=2×2×2×3×5
a+75和a+48的奇偶性不同，所以只有四种可能：
（1）a+75是24的倍数且不是5的倍数，a+48是5的倍数且不是24的倍数．
（2）a+75是5的倍数且不是24的倍数，a+48是24的倍数且不是5的倍数
（3）a+75是40的倍数且不是3的倍数，a+48是3的倍数且不是40的倍数．这样的a不存在．
（4）a+75是3的倍数且不是40的倍数，a+48是40的倍数且不是3的倍数．这样的a不存在．
分情况讨论
对于第（1）种情况
说明a除以24余21，且a除以5余2
此时a最小为117．
对于第（2）种情况
说明a除以5余0，且a除以24余0．也就是a是5和24的公倍数．
此时a最小为120．
所以，a最小为117．

点评：本题主要考查了奇偶性和分解质因数的方法来进行解答．