Question

已知从1开始连续n个自然数相乘，1×2×3×…×n，乘积的尾部恰有25个连续的0，那么n的最大值是

109

．

Answer 1

分析：由于在自然数中因数2的个数远大于5的个数，所以只要分个位、十位来确定因数5的个数就是积的末尾的0的个数，再取到出现第26个0前的数就是n的最大值．

解答：解：凡末位是0的数，都为乘积的尾部贡献1个0，2×5=10，每10个连续数中，这样就为乘积贡献了2个零；
从1到100，乘积就有了20个0，但还有25、50、75和100，都可再贡献1个0，这样就有了24个0；
因为还需要贡献1个0，即凑成25个0，还必须出现1个5（因为2有的是），所以到105恰有乘积末尾恰有25个连续的0；
但此题问的是n的最大值，也就是说，最大到几不会出现第26个0，显然，是到109，所以n=109．
故答案为：109．

点评：本题还可用筛选列举法解答：至n的连续自然数中，质因数含2的忽略不计（质因数2的个数多于5）含质因数5的依次：5，10，15，20，25（含2个），30，35，40，45，50（含2个），55，60，65，70，75（含2个），80，85，90，95，100（含2个），105，至105为止共含25个质因数5；下一个5的倍数是110，那么它前面的数是109，所以n=109．