Question

3．学校将学生分组开展课外活动．每组5人，多2人；每组6人，少5人；每组7人，少2人．参加课外活动的学生至少有多少人？

Answer 1

分析 设按5人分组时，组数为x； 按6人分组时，组数为y；按7人分组时，组数为z，$x=\frac{6y-1}{5}$因为x，y为整数，（6y-1）被5整除的个位数一定是0或5，所以y可以取1，6，11，16，21，26…（也就是等差为5的数列），同理，由5x+2=7z-2得z为2，7，12，17，22，27…（也是等差为5的数列），$y=\frac{7z-3}{6}$，
（7z-3）被6整除，z必须是奇数而且是能被3整除的．从z取值数列看，符合这样条件的其最小值是27．而根据题义，也应取最小值．所以z=27． 代入方程中，得出x=37，y=31． 再解答即可．

解答 解：设按5人分组时，组数为x； 按6人分组时，组数为y；按7人分组时，组数为z； 
由题列出方程：5x+2=6y+1
                $x=\frac{6y-1}{5}$
因为x，y为整数，（6y-1）被5整除的个位数一定是0或5，
所以y可以取1，6，11，16，21，26…（也就是等差为5的数列） 
同理，由5x+2=7z-2得z为2，7，12，17，22，27…（也是等差为5的数列） 
由6y+1=7z-2
    $y=\frac{7z-3}{6}$，
（7z-3）被6整除，z必须是奇数而且是能被3整除的．从z取值数列看，符合这样条件的其最小值是27．而根据题义，也应取最小值．所以z=27． 
代入方程中，得出x=37，y=31． 
验算：37×5+2=187 
31×6+1=187 
27×7-2=187 
答：参加课外活动的学生至少有187人．

点评 本题考查了公倍数公因数应用题，关键是求得x=37，y=31，z=27．