Question

是否能将1～l6这16个自然数排成一排，使得任相邻两个数的和都等于自然数的平方？如果能，请写出排法，如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：根据完全平方数的性质之一：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9，又本题中是将“将1～l6这16个自然数排成一排，使得任相邻两个数的和都等于自然数的平方”所以本题两个自数的和不会超过30，那么和只可能是4，9，16，25．据此进行分析验证：和为4：1+3，和为9：1+8，2+7，3+6，4+5，和为16：1+15，2+14，3+13，4+12，5+11，6+10，7+9，和为25：9+16，10+15，11+14，12+13．通过观察可知，和为9和25的里面每个数都恰出现1次，和为16的里面除了8和16以外每个数都恰出现1次，而和为4的只有一种．所以8和16必须在两头．8往里一定是1，16往里一定是9，之后一定是7，然后2，14，11，5，4，12，13，3；所以1和3不能相邻，1再往里只能是15，10，6，3，符合题意．
所以完整符合题意的数列为：8，1，15，10，6，3，13，12，4，5，11，14，2，7，9，16．

解答：解：根据完全平方数的性质可知：和只可能是4，9，16，25，由此可得：
和为4：1+3，
和为9：1+8，2+7，3+6，4+5，
和为16：1+15，2+14，3+13，4+12，5+11，6+10，7+9，
和为25：9+16，10+15，11+14，12+13；
观察到和为9和25的里面每个数都恰出现1次，和为16的里面除了8和16以外每个数都恰出现1次，而和为4的只有一种．所以8和16必须在两头，所以：
8往里一定是1；
16往里一定是9，之后一定是7，然后2，14，11，5，4，12，13，3；
所以1和3不能相邻，1再往里只能是15，10，6，3，符合题意．
完整的数列为：8，1，15，10，6，3，13，12，4，5，11，14，2，7，9，16．
故答案为：能，排法为8，1，15，10，6，3，13，12，4，5，11，14，2，7，9，16．

点评：本题主要是依据完全平方数的性质之一：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9及所给数据进行推理的．