Question

如图所示，三角形ABC是一个以A为直角顶点的直角三角形，其中AB长20米，AC长15米．甲从A点出发以2米/秒的速度不停地在A、B之问往返，乙从C点出发以1米/秒的速度不停地在A、C之间往返．在某些时刻，甲到达D点，乙到达E点，四边形DECB恰好成为一个梯形．求梯形DECB面积的最小值．

Answer 1

考点：最大与最小,梯形的面积

专题：传统应用题专题

分析：解：根据题意，甲沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时乙从点C出发，沿CA方向以1cm/s的速度向点A运动，设当AD=m，AE=n时，三角形ADE的面积最大，则此时梯形DECB面积取得最小值．依题意有：m÷2=15-n，S三解形ADE=

1

2

mn=（15-n）×n=-（n-

15

2

）²+（

15

2

）²，最大值为n=

15

2

时取得，此时三解形面积为

225

4

，进而解决问题．

解答： 解：设当AD=m，AE=n时，三角形ADE的面积最大，则此时梯形DECB面积取得最小值．
依题意有：m÷2=15-n
S三解形ADE=

1

2

mn=（15-n）×n=-（n-

15

2

）²+（

15

2

）²
最大值为n=

15

2

时取得，此时三解形面积为

225

4

S梯形DECB=

1

2

×20×15-

225

4

=

375

4

=93.75（平方米）．

点评：此题属于较难的最值问题，求出三角形ADE的面积最大值，也就求出了梯形DECB面积的最小值．