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把一个四位数的四个数字颠倒顺序(颠倒顺序后仍为四位数),将所得到的数与原数相加.如果所得到的和数能被35整除,则称这个四位数为“好数”.那么,所有的四位数中,好数有多少个?
分析:因35=5×7,所以“能被35整除”可以理解为“既能被5整除,又能被7整除”,设这个4位数为abcd,则颠倒顺序后为dcba,则两数之和为:(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1001(a+d)+110(b+c)=11×13×7×(a+d)+11×5×2×(b+c);然后分情况解答.
解答:解:因35=5×7,所以“能被35整除”可以理解为“既能被5整除,又能被7整除”,
设这个4位数为abcd,则颠倒顺序后为dcba,则,两数之和为:
(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a),
=1001(a+d)+110(b+c),
=11×13×7×(a+d)+11×5×2×(b+c);
其中,11×13×7×(a+d)满足被7整除的条件,还需满足被5整除的条件即可,所以a+d需能被5整除.
此时,a+d可能等于5、10、15三种情况.
其中,11×5×2×(b+c)满足被5整除的条件,还需满足被7整除的条件即可,所以b+c需能被7整除,
此时,b+c可能等于0、7、14三种情况.
因为颠倒顺序后仍为四位数,则d≠0,满足a+d等于5或10或15的组合有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)、(1,9)、(2,8)、(3,7)、(4,6)、(5,5)、(6,4)、(7,3)、(8,2)、(9,1)、(6,9)、(7,8)、(8,7)、(9,6),共17种;
满足b+c等于0或7或14的组合有(0,0)、(0,7)、(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)、(7,0)、(5,9)、(6,8)、(7,7)、(8,6)、(9,5),共14等种;
17×14=238种,即题中所说好数为238个.
答:好数有238个.
点评:注意审题,特别应注意括号内的说明“颠倒顺序后仍为四位数”这一条件.
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1164
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