Question

把一个四位数的四个数字颠倒顺序（颠倒顺序后仍为四位数），将所得到的数与原数相加．如果所得到的和数能被35整除，则称这个四位数为“好数”．那么，所有的四位数中，好数有多少个？

Answer 1

分析：因35=5×7，所以“能被35整除”可以理解为“既能被5整除，又能被7整除”，设这个4位数为abcd，则颠倒顺序后为dcba，则两数之和为：（1000a+100b+10c+d）+（1000d+100c+10b+a）=1001（a+d）+110（b+c）=11×13×7×（a+d）+11×5×2×（b+c）；然后分情况解答．

解答：解：因35=5×7，所以“能被35整除”可以理解为“既能被5整除，又能被7整除”，
设这个4位数为abcd，则颠倒顺序后为dcba，则，两数之和为：
（1000a+100b+10c+d）+（1000d+100c+10b+a），
=1001（a+d）+110（b+c），
=11×13×7×（a+d）+11×5×2×（b+c）；
其中，11×13×7×（a+d）满足被7整除的条件，还需满足被5整除的条件即可，所以a+d需能被5整除．
此时，a+d可能等于5、10、15三种情况．
其中，11×5×2×（b+c）满足被5整除的条件，还需满足被7整除的条件即可，所以b+c需能被7整除，
此时，b+c可能等于0、7、14三种情况．
因为颠倒顺序后仍为四位数，则d≠0，满足a+d等于5或10或15的组合有（1，4）、（2，3）、（3，2）、（4，1）、（1，9）、（2，8）、（3，7）、（4，6）、（5，5）、（6，4）、（7，3）、（8，2）、（9，1）、（6，9）、（7，8）、（8，7）、（9，6），共17种；
满足b+c等于0或7或14的组合有（0，0）、（0，7）、（1，6）、（2，5）、（3，4）、（4，3）、（5，2）、（6，1）、（7，0）、（5，9）、（6，8）、（7，7）、（8，6）、（9，5），共14等种；
17×14=238种，即题中所说好数为238个．
答：好数有238个．

点评：注意审题，特别应注意括号内的说明“颠倒顺序后仍为四位数”这一条件．