Question

如图，长方形ABCD是由上、中、下三个长方形拼成的，已知中间长方形的宽正好是上下两个长方形宽的和．那么S₁、S₃的面积和与S₄的面积比是

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的性质（份数、比例）

专题：平面图形的认识与计算

分析：设图中面积是S₁、S₂、S₃的图形的高分别是a，b，c；且a+c=b．由图形易知，图中的三角形都是相似的．根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，将S₃、S₄都用S₁表示出来，再算出S₁+S₃，与S₄比较可得答案．

解答： 解：设图中面积是S₁、S₂、S₃的图形的高分别是a，b，c；设空白三角形的面积为S₅．图中的三角形都是相似形．
所以①S₁：（S₁+S₂）=a²：（a+b）²；
S₁+S₂=

(a+b)2

a2

S₁；
②（S₁+S₂）：（S₁+S₂+S₃）=（a+b）²：（a+b+c）²；
求出S₃=

c(2a+2b+c)

a2

S₁ 
③S₅：S₁=c²：a²，所以S₅=

c2

a2

S₁
④（S₄+S₅）：S₅=（b+c）²：c²，
S₄：S₅ =

b(b+2c)

c2

；
所以S₄ =

b(b+2c)

c2

S₅ =

b(b+2c)

a2

S₁ 
又b=a+c，
所以S₁+S₃=S₁+

c(2a+2b+c)

a2

S₁=

(a+c)(a+3c)

a2

S₁=

b(b+2c)

a2

S₁
所以S₁+S₃=S₄
所以（S₁+S₃）：S₄=1：1．
故答案为：1：1．

点评：本题须根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方来解答．