Question

有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）．这样的三位数中最小的三个是多少？

Answer 1

考点：最大与最小

专题：余数问题

分析：根据题意，可使此数除以2，3，4，5，6所得到的余数顺序为：①为0、1、2、3、4；②为1、2、3、4、5．
2、3、4、5、6的最小公倍数60，因此60×2-2=118符合①且最小．60×2-1=119符合②且最小．
比①②稍大，且满足余数不同的还可能有，然后进行分析即可．

解答： 解：可使此数除以2，3，4，5，6所得到的余数顺序为：
①为0、1、2、3、4
②为1、2、3、4、5
2、3、4、5、6的最小公倍数60，因此60×2-2=118符合①且最小．60×2-1=119符合②且最小．
比①②稍大，且满足余数不同的还可能有，分析如下：
A、被6除余0、1、2、3、4、5，则被3除余0、1、2、0、1、2．余数不发生重复的有：
被6除余3、4、5，被3除余0、1、2，
B、被4除余0、1、2、3，则被2除余0、1、0、1．余数不发生重复的有
被4除余2、3，被2除余0、1，
因此这两组不重复的组合有：
6除余4、3除余1，4除余2，2除余0，则须被5除余3，同上述①，
6除余5、3除余2，4除余3，2除余1，则5除余4同上述②，或5除余0，
则求③6除余5、5除余0、4除余3，3除余2，2除余1的数，即
6除余5、5除余0、4除余3的数：
6K+5=（5K+5）+K，K最小为0，6K+5最小为5
30K+5=（28K+3）+2（K+1），K最小为3，30K+5最小为30*3+5=95
求得形式为60K+95的数符合“6除余5、5除余0、4除余3，3除余2，2除余1”
这样的三位数最小是60+95=155
综上，除以2，3，4，5，6所得到的余数互不相同的最小的三位数是：118、119、155．

点评：此题也可这样理解：因为6=2×3 比较特殊．
被6除余0时，被2、3除余0 （必有重复）
被6除余1时，被2、3除余1（必有重复）
被6除余2时，被2除余0、被3除余2（必有重复）
被6除余3时，被2除余1、被3除余0、被4除不是余1就是余3（必有重复）
被6除余4时，被2除余0、被3除余1
被6除余5时，被2除余1、被3除余2
显然，要使余数不重复，所求的数被6除只可能余4、5．
①当被6除余4时不可能再出现余数5了．余数只能是0、1、2、3、4这5个．
并且被6除余4，则被2除必余0、被3除必余1，被4除余0或2（0重复）只能余2．剩下被5除只能余3．
也就是说余数中不出现5时，
被2、3、4、5、6除的余数及顺序只能分别是：0、1、2、3、4．
求得此时最小的三位数118．
②当被6除余5时，11、17
被2除必余1、被3除必余2、被5除必余0，被4除余1或3（1重复）必余3．
显然此时被5除只能余0或4了．
也就是说余数中出现5时，
被2、3、4、5、6除的余数及顺序只能分别是：
A 1、2、3、0、5
或B 1、2、3、4、5
分别求得此情况下的最小三位数，分别是：A155、B119．
综上，已求得最小的三个符合题意的数，即118、119、155．