Question

【题目】在十进制的表示中，三个依次增大的两位数恰构成公差为6的等差数列；而在五进制的表示中，这三个数的数字和是依次减少的．符合这样要求的等差数列有多少个？

Answer 1

【答案】综上共有6组：

23、29、35；

48、54、60；

73、79、85．

14、20、26；

39、45、51；

64、70、76．

【解析】

试题分析：设出这三个数分别为X、X+6、X+6+6．进一步由五进制数的特点，分情况探讨得出答案即可．

解：设三个数分别为X、X+6、X+6+6．

两位数化为五进制数，最小20，最大400，也就是这三个数的五进制数必然是2位或3位．最小的数必然是2位．

设其五进制数形式后两位为AB，则根据题意“在五进制的表示中，这三个数的数字和依次减少”知

AB+11时发生一次进位，AB+22 时发生两次进位．

【由十进制加法，进位1次，数字和少9得到的推论】

因此有：

①AB+11进位在A上，AB+22进位在A、B上：

B+1＜5，B+2≥5，B=3

A+1＞5，A＜5，A=4

则由[43]5=23、[143]5=48、[243]5=73、[343]5=98（舍弃）

得这三个数可能是

23、29、35；

48、54、60；

73、79、85．

②AB+11进位在B上，AB+22进位在A、B上：

B＜5，B+1≥5，B=4

A+1+1＜5，A+2+1≥5，A=2

则由[24]5=14、[124]5=39、[224]5=64、[324]5=89（舍弃）

得这三个数可能是

14、20、26；

39、45、51；

64、70、76；

综上共有6组：

23、29、35；

48、54、60；

73、79、85．

14、20、26；

39、45、51；

64、70、76．