Question

13．探索与发现：
已知△ABC，看图填出（1）、（2）、（3）中的空并解答（4）、（5）中的问题．

（1）在图1中，若D₁、E₁分别是AB、BC的中点，则阴影部分 与△ABC的面积比等于3：4．
（2）在图2中，若D₁、D₂分别为AB的三等分点，E₁、E₂分别为BC的三等分点，则阴影部分 与△ABC的面积比等于2：3．
（3）在图3中，若D₁、D₂、D₃分别为AB的四等分点，E₁、E₂、E₃分别为BC的四等分点，则阴影部分 与△ABC的面积比等于5：8．
（4）若设三角形边AB、BC的等分点数都为a，请探索（1）、（2）、（3）中阴影部分 与△ABC的面积关系，求出等分点数位a时，阴影部分 与△ABC的面积比等于多少？（用含a的代数式表示 ）．
（5）根据（4）中的结论求出在图4中，若D₁、D₂、D₃，…D₈分别为AB的九等分点，E₁、E₂、E₃，…E₈分别为BC的九等分点时，阴影部分与△ABC的面积比等于多少？

Answer 1

分析 （1）首先根据D₁、E₁分别是AB、BC的中点，可得△BD₁E₁∽△BAC，所以${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}{：S}_{△BAC}=1：4$，然后根据D₁是AB的中点，可得${S}_{△A{CD}_{1}}={\frac{1}{2}S}_{△ABC}$，据此求出阴影部分与△ABC的面积比等于多少即可．
（2）根据D₁、D₂分别为AB的三等分点，E₁、E₂分别为BC的三等分点，求出△BD₁E₁、△D₁D₂E₂、△ACD₂分别是△ABC的面积的几分之几，判断出阴影部分与△ABC的面积比等于多少即可．
（3）根据D₁、D₂、D₃分别为AB的四等分点，E₁、E₂、E₃分别为BC的四等分点，求出△BD₁E₁、△D₁D₂E₂、△D₂D₃E₃、△ACD₃分别是△ABC的面积的几分之几，判断出阴影部分与△ABC的面积比等于即可．
（4）根据（1）、（2）、（3）中阴影部分 与△ABC的面积关系，可得等分点数位a时，阴影部分与△ABC的面积比是（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{a}^{2}}+…+\frac{a}{{a}^{2}}$）：1，据此解答即可．
（5）根据等分点数位a时，阴影部分与△ABC的面积比公式，求出E₁、E₂、E₃，…E₈分别为BC的九等分点时，阴影部分与△ABC的面积比等于多少即可．

解答 解：（1）因为D₁、E₁分别是AB、BC的中点，
所以△BD₁E₁∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}{：S}_{△BAC}=1：4$，
即${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}={\frac{1}{4}S}_{△ABC}$，
因为D₁是AB的中点，
所以${S}_{△A{CD}_{1}}={\frac{1}{2}S}_{△ABC}$，
所以阴影部分与△ABC的面积比等于：
（$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}$）：1
=$\frac{3}{4}：1$
=3：4

（2）因为D₁、E₁分别是AB、BC的三等分点，
所以△BD₁E₁∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}$${=（\frac{1}{3}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{1}{9}$S_△ABC，
因为D₂、E₂分别是AB、BC的三等分点，
所以△BD₂E₂∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{2}E}_{2}}$=${（\frac{2}{3}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{4}{9}$S_△ABC，
所以${S}_{{{{△D}_{1}D}_{2}E}_{2}}$=$\frac{2}{9}$S_△ABC，
因为${S}_{△A{CD}_{2}}$=$\frac{1}{3}$S_△ABC，
所以阴影部分与△ABC的面积比等于：
（$\frac{1}{9}+\frac{2}{9}+\frac{1}{3}$）：1
=$\frac{2}{3}：1$
=2：3

（3）因为D₁、E₁分别是AB、BC的四等分点，
所以△BD₁E₁∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{1}E}_{1}}$=${（\frac{1}{4}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{1}{16}$S_△ABC，
因为D₂、E₂分别是AB、BC的四等分点，
所以△BD₂E₂∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{2}E}_{2}}$=${（\frac{1}{2}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
所以${S}_{{{{△D}_{1}D}_{2}E}_{2}}$=$\frac{1}{8}$S_△ABC，
因为D₃、E₃分别是AB、BC的四等分点，
所以△BD₃E₃∽△BAC，
所以${S}_{△{{BD}_{3}E}_{3}}$=${（\frac{3}{4}）}^{2}$S_△ABC=$\frac{9}{16}$S_△ABC，
所以${S}_{{{{△D}_{2}D}_{3}E}_{3}}$=$\frac{9}{16}×\frac{1}{3}{×S}_{△ABC}$=$\frac{3}{16}$S_△ABC，
因为${S}_{△A{CD}_{3}}$=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
所以阴影部分与△ABC的面积比等于：
（$\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{3}{16}+\frac{1}{4}$）：1
=$\frac{5}{8}：1$
=5：8

（4）等分点数位a时，阴影部分与△ABC的面积比是：
（$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{a}^{2}}+…+\frac{a}{{a}^{2}}$）：1
=$\frac{（1+a）a}{{2a}^{2}}：1$
=$\frac{1+a}{2a}：1$
=（a+1）：2a

（5）E₁、E₂、E₃，…E₈分别为BC的九等分点时，
阴影部分与△ABC的面积比是：
（9+1）：（2×9）
=10：18
=5：9．
故答案为：3：4；2：3；5：8．

点评 此题主要考查了相似三角形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）三角形的高相等时，三角形的面积和三角形的底成正比；（2）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．