Question

16．有一串分数：
$\frac{1}{1}$；$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{2}$；$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$；$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{1}{4}$…
（1）第一次出现的$\frac{5}{6}$是第30个分数；
（2）第100个分数是$\frac{10}{10}$．

Answer 1

分析 （1）分母是1的分数有1个，分子是1；
分母是2的分数有3个，分子是1，2，1；
分母是3的分数有5个，分子是1，2，3，2，1；
分母是4的分数有7个；分子是1，2，3，4，3，2，1．
分数的个数分别是1，3，5，7…，当分母是n时有2n-1个分数；由此求出从分母是1的分数到分母是6的分数一共有多少个；
分子是自然数，先从1增加，到分母相同时再减少到1；因此$\frac{5}{6}$在这个数列中应该有2个，求出第一个$\frac{5}{6}$是第几个即可；
（2）先判断出1+3+5+…加到多少和接近100，求出第100个数的分母，进而求出这个数．

解答 解：（1）分母是5的分数一共有；
2×5-1=9（个）；
从分母是1的分数到分母是5的分数一共：
1+3+5+7+9，
=（1+9）×5÷2，
=50÷2，
=25（个）；
那么从第26个分数开始依次是：$\frac{1}{6}$，$\frac{2}{6}$，$\frac{3}{6}$，$\frac{4}{6}$，$\frac{5}{6}$；所以第一个，$\frac{5}{6}$是第30个分数．
答：第一次出现的$\frac{5}{6}$是第30个分数．

（2）因为1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100；
那么第100个分数是分母是10的分数中的最后一个，是$\frac{10}{10}$；
答：第100个分数是$\frac{10}{10}$．
故答案为：30，$\frac{10}{10}$．

点评 本题需要找出分数个数与分母之间的规律，还要找出分子的变化规律．