Question

有6个木箱，编号为1、2、3、…、6，每个箱子有一把钥匙，6把钥匙各不相同，每个箱子放进一把钥匙锁好：先挖开1、2号箱子，可以取出钥匙去开箱子上的锁，如果最终能把6把锁都打开，则说这是一种放钥匙的“好”的方法，那么“好”的方法共（　　）种．

A．120

B．180

C．216

D．240

Answer 1

分析：根据题意可知，如果1、2号箱中正好是1和2号箱的钥匙则没有好方法打开所有的箱子．除此之外还有两种可能：1．其中有一个．有4×2×2=16种情况，并且是循环排列，例如，1号箱是1，2号箱是3，接下来3号箱子就只能是4，5，6，不能是2．当3号箱是4时，4号箱就只能是5，6，因此每种情况就有3×2=6种“好”方法，则共有16×6=96种．
2．一个也没有．有4×3=12种情况，每种情况有8种“好”方法，例如前面是3，4，如果3号箱是5，那么6就可以在4号箱和5号箱，有2×2=4种；如果3号箱是6，那么5就可以在4号箱和6号箱，有2×2=4；如果3号箱是1或2，也4种，即共4×3=12种．则共有12×12=144种．
综合起来就共有96+144=240种“好”方法

解答：解：根据题意可知，
（1）如果1、2号箱中其中有一个钥匙是1、2号箱的．有4×2×2=16种情况，并且是循环排列，例如，1号箱是1，2号箱是3，接下来3号箱子就只能是4，5，6，不能是2．当3号箱是4时，4号箱就只能是5，6，因此每种情况就有3×2=6种“好”方法．
则共有“好”方法：16×6=96（种）．
（2）如果1、2号箱中的钥匙其中一个也没有是1、2号箱的．
有4×3=12种情况，每种情况有8种“好”方法，例如前面是3，4，如果3号箱是5，那么6就可以在4号箱和5号箱，有2×2=4种；如果3号箱是6，那么5就可以在4号箱和6号箱，有2×2=4；如果3号箱是1或2，也4种，即共4×3=12种．
则共有“好”方法：12×12=144（种）
综合起来就共有“好”方法：96+144=240（种）．
答：共有240种“好”方法．
故选D．

点评：这是一个难度较高的排列组合的应用题．此题的解题方法是把1、2号箱中钥匙的情况区分为3种，由题意筛选出符合题意的两种，进而分析每一种情况下的不同放法有哪些．最后归纳出一共有多少“好”方法．