Question

甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数，商是12．如果甲乙两数的差是18，则甲数是多少？乙数是多少？

Answer 1

分析：（1）甲乙两数分别除以它们的最大公约数，所得的两个商是互质数．而这两个互质数的乘积，恰好是甲乙两数的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商12．这一结论的根据是：（我们以“约”代表两数的最大公约数，以“倍”代表两数的最小公倍数）甲数×乙数=倍×约

甲数×乙数

约×约

=

倍×约

约×约

，所以：

甲数

约

×

乙数

约

=

倍

约

，

甲数

约

×

乙数

约

=12；然后根据题意，进行分析，继而得出答案．
（2）要求这两个数分别是多少，先进行解设，然后根据最小公倍数和最大公约数的知识进行分析，即可得出答案．

解答：解：解法一：12变成互质的两个数的乘积：①12=4×3，②12=1×12
先看①，说明甲乙两数：一个是它们最大公约数的4倍，一个是它们最大公约数的3倍．
甲乙两数的差除以上述互质的两数（即4和3）之差，所得的商，即甲乙两数的最大公约数．
18÷（4-3）=18；
甲乙两数，一个是：18×3=54，另一个是：18×4=72．
再看②，18÷（12-1）=1

7

11

，不符合题意，舍去．
解法二：设最大公约数为a，则最小公倍数为12a，
因为这两个数分别为b×a，c×a，
由题知b×c=12，
所以①b=2，c=6
②b=3，c=4
③b=1，c=12．
又因为（12a÷b）-（12a÷c）=18；
将①代入题中，（12a÷2）-（12a÷6）=18，a=4.5（舍去）；
将③代入题中，（12a÷1）-（12a÷12）=18，a=

18

11

（舍去）；
将②分别代入题中可知，（12a÷3）-（12a÷4）=18，a=18，符合；
所以b=3，c=4，a=18，所以这两数分别为12a÷b=72，12a÷c=54．
答：甲数是72，乙数就是54；如乙数是54，甲数就是72；

点评：解答此题的关键是先进行根据最小公倍数和最大公约数的知识进行解设，进而进行分析，得出结论．