Question

17．底面周长相等，高也相等的长方体和圆锥体，它们的体积相比，圆锥体体积（　　）长方体体积的-半．

• A． 大于
• B． 小于
• C． 等于
• D． 无法确定

Answer 1

分析 当长方体的底面为正方形时，体积最大；假设它们的底面周长为c，高为h，当长方体的底面为正方形时，长方体的体积为（$\frac{1}{4}$c）²h，圆锥的体积为：$\frac{1}{3}$π（$\frac{c}{2π}$）²h，然后用圆锥体积和长方体的体积的一半比较，如果圆锥的体积比长方体体积的一半大，那么可以确定不论长方体的底面为正方形还是长方形，圆锥体积一定大于长方体体积的一半，如果圆锥的体积比长方体体积的一半小，就无法确定当长方体的底面为长方形时他们体积的大小，由此做出判断．

解答 解：当长方体的底面为正方形时，体积最大；
设长方体和圆锥的底面周长为c，高为h，
当长方体的底面为正方形时，长方体的体积为（$\frac{1}{4}$c）²h，
圆锥的体积为：$\frac{1}{3}$π（$\frac{c}{2π}$）²h，
$\frac{1}{3}$π（$\frac{c}{2π}$）²h：$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{4}$c）²h
=$\frac{1}{3π}$：$\frac{1}{8}$
=$\frac{8}{3π}$，
因为$\frac{8}{3π}$＜1，
所以圆锥的体积小于长方体体积的一半，
当长方体的底面不是正方形时，长方体的体积会减少，
此时圆锥的体积与长方体体积的一半的大小无法确定．
故选：D．

点评 本题考查了长方体和圆锥的体积计算方法，难度在于长方体的底面周长一定时，因为形状不定，所以底面积不确定，因此体积也不确定．