Question

一个自然数在四进制表示当中的各位数字之和是5，在五进制表示当中的各位数字之和是4，那么这个自然数除以3的余数是

2

，满足要求的最小自然数是（十进制表示）

56

．

Answer 1

分析：我们先从小到大写出各位数字之和是4的五进制的数，将它们化成十进制的形式，再进一步转化为四进制的形式，找到最先出现的数字之和为5的数即可得到最小的自然数，再根据3的倍数的特征求余数即可解答．

解答：解：各位数字之和是4的五进制的数，与四进制、十进制的转化如下表

五进制数	十进制数	四进制数	四进制数字和
4	4	10	1
13	8	20	2
22	12	30	3
31	16	100	1
40	20	110	2
103	28	130	4
112	32	200	2
121	36	210	3
130	40	220	4
202	52	310	4
211	56	320	5
…	…	…	…

由表可知，满足要求的最小自然数是（十进制表示） 56．
56的各位数字相加为11，11÷3=3…2，即56除以3的余数是2．
故答案为：2，56．

点评：本题主要考查了特殊进位制之间的相互转化，对小学生来讲比较困难，解题关键是找出符合条件的最小数值．
理论验证如下：
对任意某进制数，其各位数字和能被（N-1）整除，则该数能被N-1整除．亦即该数的十进制值能被N-1整除；
在10进制中，各位数字和能被9整除，则此数必能被9整除；
在5进制中，各位数字和能被4整除，则此数必能被4整除；
在4进制中，各位数字和能被3整除，则此数必能被3整除；
证法参考10进制中被9整除的情况；
对任意某N进制数，其各位数字和被（N-1）除余K，则该数被（N-1）除余K；
结合以上两点，则
由在5进制表示当中的各位数字之和是4=5-1，推得该数被4整除；
由在4进制表示当中的各位数字之和是5=（4-1）+2，推得该数被3除余2；
被4整除、被3除余2的最小正整数时8，则有此性质的自然数=12T+8【T属于自然数】；
因（12T+8 ）÷4=3T+2，也就是说除去四进制数个位上的0（必然的），
只需求某 3T+2 在四进制中各数字之和=5；
显然有T=4时，3T+2=14=4进制[32]符合且最小；
此时12T+8=12×4+8=56．