Question

现有十箱小球，根据标准，每个小球质量应为10克，但这十箱中，混进了两箱次品，次品的外观与正品没有区别，只是一箱球每只质量比正品少1克，另一箱球每只质量比正品少2克．请设计一种方案，只称一次将这两箱次品球找出来．

Answer 1

分析：先给箱子编上号，取球方法为：从第一箱中取1只（3⁰=1），第二箱中取3只（3¹=3），第三箱中取9只（3²=9），…，第十箱中取3⁹=19683只小球放在一起称一次，如果全是正品，质量应为295240克，但因为混有质量较轻的次品小球，实际总质量应比标准总质量295240克轻些．据此解答．

解答：解：先给箱子编上号1-10，从第一箱中取1只（3⁰=1），第二箱中取3只（3¹=1），第三箱中取9只（3²=1），…，第十箱中取3⁹=19683只小球放在一起称一次，如果全是正品，质量应为295240克，但因为混有质量较轻的次品小球，实际总质量应比标准总质量295240克轻些．
①若总质量比295240克轻15克，因为15=9+3×2=1×3²+2×3¹+0×3⁰，即把十进制数15写成三进制数为（120）₃，可知第二箱每只小球比标准轻2克，第三箱每只小球比标准轻1克．
②若总质量比标准295240克轻495克，因为495=243×2+9=2×3⁵+1×3²，即把十进制数495写成三进制数为（200100）₃，可知第三箱每只小球比标准球轻1克，第六号箱子每只小球比标准球轻2克．
③因为只混进了两只次品球，且一箱每只比标准质量轻1克，另一箱每只比标准质量轻2克，所以实际总质量与标准总质量的差一定能写成3^m×1+3ⁿ×2（m、n不相等，且为不大于9的自然数）的形式，且由于这个差（十进制数）能唯一地表示为一个三进制数，所以只称一次，根据这个三进制的表达式可以把两箱次品球找出来．

点评：本题的关键是确定每只箱子里取球的只数，再根据三进制的表达方式进行解答．