Question

把一个两位质数写在另一个不同的两位质数右边，得到一个四位数，这个四位数能被这两个质数之和的一半整除．这样的两个质数乘积最大是多少？最小是多少？

Answer 1

考点：最大与最小

专题：整除性问题

分析：根据题意，设出两个质数，再根据题中的数量关系，列出方程，再根据未知数的取值受限，解答即可．

解答： 解：设a，b是满足题意的质数，根据一个两位质数写在另一个两位质数后面，得到一个四位数，它能被这两个质数之和的一半整除
那么有100a+b=k（a+b）÷2（ k为大于0的整数）
即（200-k）a=（k-2）b
由于a，b均为质数，所以k-2可以整除a，200-k可以整除b
那么设k-2=ma，200-k=mb，（ m为整数）
得到m（a+b）=198
由于a+b可以被2整除
所以m是99的约数
可能是1，3，9，11，33，99
若m=1，a+b=198且为两位数 显然只有99+99 这时a，b不是质数
若m=3，a+b=66 则 a=13 b=53
或a=19 b=47
或a=23 b=43
或a=29 b=37
若m=9，a+b=22 则a=11 b=11（舍去）
其他的m值都不存在满足的a，b
综上a，b实数对有（13，53）（19，47）（23，43）（29，37）共4对
13×53=689，19×47=893，23×43=989，29×37=1073
所以两个质数乘积最大是：1073
乘积最小是：689
答：这样的两个质数乘积最大是1073，最小是689．

点评：解答此题的关键是根据题意，列出不定方程，再根据质数，整除的定义及未知数的取值受限，解不定方程即可．