Question

已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除．那么，最小的一个自然数是

1664

．

Answer 1

分析：设中间的一个数是N，（N-1）能被13整除；N能被15整除；（N+1）能被17整除；那么可以把N表示成带余除法形式．有N-1=13A，N=18B，N+1=17C，可得：N=13A+1，N=15B，N=17C-1，（A，B，C是非0自然数）．根据以上我们可以把原题转化成“有一个自然数除以13余1，除以15余0，除以17余16，求这个小于2002的自然数是多少；解决问题．

解答：答：本题所求的数有三个要求，我们采取逐个满足的方法．因为13A+1=15B得：A=

15B-1

13

=

13B+2B-1

13

=B+

2B-1

13

，
到此可抓住式子的特点，看出A或B的取值．有上式可看出B最小取7，

2B-1

13

可得整数1，则当B=7时，A=8，此时N=105，这时已满足了前两个要求，但105除以17不余16，
接着我们可以105不断的加13和15的最小公倍数的倍数，（这样的目的是为了使前两个的要求不变，加13的倍数除以13还余1，加15的倍数除以15还整除）直到找到有一个除以17余16的数，这个数就是最小的一个．
13和15的最小公倍数是195，我们可以把可以把符合除以17余16的数用105+195D来表示，当然一个个试105+195D是否能除以17余16比较麻烦，可我们仍然可以用前面的方法．
因为105+195D=17C-1，得D=

195D+106

17

=

17×11D+8D+6×17+4

17

=11D+6+

8D+4

17

，看

8D+4

17

，8D+4要是17的倍数比较容易确定，8D+4是偶数，
因此只能是17的偶数倍，34不行，68时，D=8．当D=8时，C=11×8+6+

8×8+4

17

=98，则N=17×98-1=1664，故已知三个连续自然数，它们都小于2002，其中最小的一个自然数能被13整除，中间的一个自然数能被15整除，最大的一个自然数能被17整除．那么，最小的一个自然数是 1664．
故答案为：1664．

点评：这道题用转化法解就简单些了．