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已知等式
1
15
=
1
A
+
1
B
,其中A,B是非零自然数,求A+B的最大值.
分析:求A+B的最大值,就是使A和B要尽量大,因此
1
A
越接近
1
15
,则
1
B
越小,则B越大,A+B就越大,不妨设
1
A
=
1
16
,看看
1
15
能否拆成
1
16
+
1
B
的形式,通过拆分,由
1
15
=
1
16
+
1
240
,因此A=16,B=240,因此A+B=16+240=256.故A+B的最大值是256.
解答:解:求A+B的最大值,就是使A和B要尽量大,不妨设
1
A
=
1
16
,则
1
B
=
1
15
-
1
16
=
1
240
,即
1
15
=
1
16
+
1
240
,因此A+B=16+240=256.
答:A+B的最大值是256.
点评:此题也可这样解答:设A=ka,B=kb,(a,b)=1,即有
1
3×5
=
1
ka
+
1
kb
=
a+b
k×a×b

因为(a,b)=1,所以有(a+b,b)=1和(a,a+b)=1,只能有a+b整除k.设k=m×(a+b),
则有A=m×(a+b)×a,B=m×(a+b)×b,A+B=m×(a+b)2
因为
1
3×5
=
1
m×(a+b)×a
+
1
m×(a+b)×b
=
1
m×a×b

上式意味着m,a,b必须是15的约数.考虑到交换a和b的取值,不改变A+B的值.所以m,a,b可能的取值和A+B的值是:
m 1 1 3 5 15
a 3 1 1 1 1
b 5 15 5 3 1
A+B 64 256 108 80 60
答:A+B的最大值是256.
练习册系列答案
相关习题

科目:小学数学 来源: 题型:

问题:在下面括号里填上适当的自然数,使等式成立.
1
6
=
1
(  )
+
1
(  )
=
1
(  )
+
1
(  )
=.
1
(  )
+
1
(  )
=
1
(  )
+
1
(  )
=
1
(  )
+
1
(  )

分析:把
1
6
表示成两个单位分数(分子为1的分数)的和,可以这样考虑:若两个加数相同,则
1
6
=
1×2
6×2
=
1
12
+
1
12

若两个加数不相同,可利用分数的基本性质将分数的分子、分母扩大相同的倍数,再将分子拆成两个自然数的和,即:
1
6
=
1×A
6×A
=
B+C
6A
=
B
6A
+
C
6A
(A=B+C,A、B、C是自然数),若B、C是6的约数,则
B
6A
C
6A
可以化成单位分数.
所以
1
6
=
1
12
+
1
12
=
1
15
+
1
10
=
1
18
+
1
9
=
1
24
+
1
8
=
1
42
+
1
7

根据对上述材料的理解完成下列各题:
(1)在下面括号里填上相同的自然数,使等式成立
1
10
=
1
(   )
+
1
(   )

(2)已知
1
10
=
1
A
+
1
B

(A、B是不相等的自然数)求所有满足条件A、B的值.(直接写出答案).

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科目:小学数学 来源:不详 题型:解答题

问题:在下面括号里填上适当的自然数,使等式成立.
1
6
=
1
(  )
+
1
(  )
=
1
(  )
+
1
(  )
=.
1
(  )
+
1
(  )
=
1
(  )
+
1
(  )
=
1
(  )
+
1
(  )

分析:把
1
6
表示成两个单位分数(分子为1的分数)的和,可以这样考虑:若两个加数相同,则
1
6
=
1×2
6×2
=
1
12
+
1
12

若两个加数不相同,可利用分数的基本性质将分数的分子、分母扩大相同的倍数,再将分子拆成两个自然数的和,即:
1
6
=
1×A
6×A
=
B+C
6A
=
B
6A
+
C
6A
(A=B+C,A、B、C是自然数),若B、C是6的约数,则
B
6A
C
6A
可以化成单位分数.
所以
1
6
=
1
12
+
1
12
=
1
15
+
1
10
=
1
18
+
1
9
=
1
24
+
1
8
=
1
42
+
1
7

根据对上述材料的理解完成下列各题:
(1)在下面括号里填上相同的自然数,使等式成立
1
10
=
1
(   )
+
1
(   )

(2)已知
1
10
=
1
A
+
1
B

(A、B是不相等的自然数)求所有满足条件A、B的值.(直接写出答案).

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