Question

现有如下一系列图形：
当n=1时，长方形ABCD分为2个直角三角形，总计数出5条边．
当n=2时，长方形ABCD分为8个直角三角形，总计数出16条边．
当n=3时，长方形ABCD分为18个直角三角形，总计数出33条边．
…
按如上规律请你回答：当n=100时，长方形ABCD应分为多少个直角三角形？总计数出多少条边？

Answer 1

分析：由图形可以看出，第n个图形中，长方形的长被分成了n份，长方形的宽也被分成了n份，所以每个图形中有n×n个小长方形，每个长方形又分成了2个直角三角形，所以第n个图形中有2n²个直角三角形．当n=1，2n²=2；n=2，2n²=8；n=3，2n²=18；正好和提供的数据相同，证明了结论的正确性．
图形中的边长里除了最边上哪些外都是由两个三角形边长重合形成的，最外边的边长有4n个，如果每个三角形边长和再加上4n就将图形中边长加了两遍，所以图形中边长为

2n2? 3+4n

2

，即：3n²+2n．当n=1，3n²+2n=3+2=5；n=2，3n²+2n=12+4=16；n=3，3n²+2n=27+6=33；正好和提供的数据相同，证明了结论的正确性．

解答：解：当长方形的长和宽分成n份时，如图所示连接各点，长方形ABCD分为2n²个直角三角形，总计数出3n²+2n条边；
当n=100时，2n²=2×100²=20000；
3n²+2n=3×100²+2×100=30200；
答：当n=100时，长方形ABCD应分为20000个直角三角形，总计数出30200条边．

点评：此题考查了数与形结合的规律，分析图形找规律，比较明显，然后再由提供的数据证明规律的正确性，最后推广到任意情况下进行求解．