Question

一个自然数，它与99的乘积的各位数字都是偶数，求满足要求的最小值．

Answer 1

考点：最大与最小

专题：整除性问题

分析：设自然数为n，与99的乘积为99n，然后根据99的整除性质，可知99n能同时被9和11整除，被9整除：各位数字和，是9的倍数；被11整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）．再根据各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍．经过试算，可知两位数、三位数、四位数、五位数只军无解，六位数时，228888为最小的符合条件的数，进一步解决问题．

解答： 解：设自然数为n，与99的乘积为99n，
99=9×11，99n能同时被9和11整除，
被9整除：各位数字和，是9的倍数；
被11整除：奇数位数字和与偶数位数字和的差，能被11整除（或为0）．
各位数字都是偶数，且数字和是9的倍数，那么数字和就是18的整数倍．
再看怎么满足能被11整除，
数字和为18，不能满足；
数字和为36，18-18=0，满足，
经试乘积最小为228888．
所求自然数最小为：228888÷99=2312．
答：满足要求的最小值2312．

点评：此题根据99的整除性质，推出成乘积最小是228888，是解答此题的关键．