Question

（2007?江阴市）把边长为1厘米的正方形纸片按下面的规律拼搭：

①那么第5个图形应该由几张正方形纸片拼成？
②第10个图形的周长是多少厘米？
③如果拼成的图形的周长是 200厘米，那么它是由几张正方形纸片拼成的？

Answer 1

分析：（1）根据图形中小正方形的个数来看，第一个图形只有1层，是1个正方形；第二个图形有2层，小正方形个数从上面开始按1+2的顺序排列；第三个图形有3层，小正方形个数是按1+2+3排列的；第四个图形有4层，小正方形个数是按1+2+3+4的顺序排列的…所以第n个图形有n层，小正方形个数是按1+2+3+…+n排列的；所以第五个图形是由1+2+3+4+5=（15）个正方形组成．
（2）根据题干观察可得：第一个图形周长是1×4=4（厘米），第二个图形周长是2×4=8（厘米），第三个图形周长是3×4=12（厘米），第四个图形周长是4×4=16（厘米）…则第n个图形周长就是n×4=4n（厘米），由此即可求得第10个图形的周长．
（3）利用上题（2）中推理得出的结论：即可求出周长为200的图形是第（200÷4=50）个图形，利用（1）中推理的结论可得：第50个图形中，小正方形的个数为：1+2+3+…+50，利用高斯求和的方法即可简便计算得出答案．

解答：解：（1）根据题干分析可得：第n个图形有n层，则小正方形个数是按1+2+3+…+n排列的；
所以第五个图形的正方形个数为：1+2+3+4+5=15（个）；
答：第5个图形应该由15张正方形纸片拼成．
（2）根据题干分析可得：第n个图形周长就是：n×4=4n（厘米），
所以第10个图形的周长是：10×4=40（厘米），
答：第10个图形的周长是40厘米．
（3）根据（1）（2）中推理的结论可得：
200÷4=50（个），即这是第50个图形；
1+2+3+…+50=（50+1）×（50÷2）=51×25=1275（个），
答：周长是 200厘米的图形是由1275张正方形纸片拼成的．

点评：解决此类问题，都要抓住题干中的图形排列特点和数量变化特点，从特殊例子推理得出一般结论，然后利用推理得出的结论解决问题．这里主要培养学生的观察和推理、归纳的能力．