Question

一个正整数，它的5倍的约数比它的约数多5个．并且它与10!（即1×2×3×…×10）的最大公约数是35．这个正整数是

12005

．

Answer 1

分析：由题意可知：设这个数为a，则这个数a的因数中一定有5和7，且因数5的个数只能有一个，否则与10的阶乘矛盾，所以这个数的因数的个数一定是偶数个，那么它的5倍的数的因数的个数多5个，它的5倍的数的因数的个数一定是奇数个，可得：它的5倍的数是完全平方数，所这个数的因数7一定至少有2个，再据求一个数的约数的个数的方法求解，通过检验可得a=5×7⁴=12005，（因数的个数是10个）；5a=5²×7⁴=60025，（因数的个数是15），符合要求；问题得解．

解答：解：设这个数为a，
则这个数a的因数中一定有5和7，
且因数5的个数只能有一个，否则与10的阶乘矛盾，
所以这个数的因数的个数一定是偶数个，那么它的5倍的数的因数的个数多5个，
它的5倍的数的因数的个数一定是奇数个，
可得：它的5倍的数是完全平方数，所这个数的因数7一定至少有2个，
又因a=5^m×7ⁿ×k，
2×5=10，
即（1+1）×（4+1）=10，
所以m=1，n=4，k=1，则a=5×7⁴=12005，
通过检验可得a=5×7⁴=12005，（因数的个数是10个）；
5a=5²×7⁴=60025，（因数的个数是15），符合要求；
答：这个正整数是12005．
故答案为：12005．

点评：此题难度较大，主要依据约数、最大公约数的意义，以及求一个数的约数的个数的方法求解．