Question

9．计算：$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$．

Answer 1

分析 通过观察，分母是连续自然数的和，并逐渐增多，因此分母部分运用高斯求和公式表示出来．进一步运用拆分的方法，使计算简便．

解答 解：$\frac{1}{1}$+$\frac{1}{1+2}$+$\frac{1}{1+2+3}$+…+$\frac{1}{1+2+3+…+100}$
=1+$\frac{1}{\frac{（1+2）×2}{2}}$+$\frac{1}{\frac{（1+3）×3}{2}}$+…+$\frac{1}{\frac{（1+100）×100}{2}}$
=1+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{100×101}$
=1+2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{100}$-$\frac{1}{101}$）
=1+2×（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{101}$）
=1+1-$\frac{2}{101}$
=1$\frac{99}{101}$

点评 此类问题，如果分母之间存在某种特殊规律时，根据规律，运用运算技巧，进行简便计算．