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科目: 来源: 题型:071

对策问题

  在数学竞赛中,有一类很有趣味的智办游戏题,涉及到的课本知识并不多,但是技巧性比较强。在智力游戏中,对立者总是竭尽全力争取最大的胜利,不希望自己失败,因此对立者都认真选择对付对方的方法。用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题。

  提问 在黑板上写下一列自然数2345,…,19931994,甲先擦去其中一个数,然后乙再擦去一个数,如此轮流地擦下去,若最后剩下两个互质数时,甲取胜,若最后剩下两个不是互质数时,乙取胜,这个游戏中谁取胜的可能性最大?

  解 在2345,…,19931994这一列数中,共有997个偶数,996个奇数,而且这一列数都是连续的自然数。大家知道,相邻的两个自然数一定是互质数。如果甲先擦去一个偶数2,就还剩下996个偶数和996个奇数,这时乙擦去某一个奇数时,甲就擦去其相邻后面的那个偶数,乙擦去某一个偶数时,甲就擦去其相邻前面的那个奇数,如此这般地擦995次后,就只剩下相邻的一奇数一偶数,它们必是互质数,甲必胜。

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对策问题

  在数学竞赛中,有一类很有趣味的智办游戏题,涉及到的课本知识并不多,但是技巧性比较强。在智力游戏中,对立者总是竭尽全力争取最大的胜利,不希望自己失败,因此对立者都认真选择对付对方的方法。用数学的观点和方法来研究取胜的策略叫做对策问题。

  提问 有200枚围棋子放在盒子里,甲、乙两个轮流各取1枚或2枚,取到最后一枚为胜者,必胜的对策是什么?

  解 由于每人可取1枚或2,当甲取1枚时,乙可以取2枚,当甲取2枚时,乙可以取1枚,所以不妨将3枚棋子作为一组。由200÷3=66()……2(),为了确保拿到这堆棋子的最后一枚或2枚,甲应争取先拿,拿走2枚,然后乙随便取1枚或2枚,甲就相应地取2枚或1枚,以使得两人各取一次后一共取走3枚,这样甲就必是胜方。

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62m长的篱笆围成一个长为32m的长方形鸡场,其中一面利用围墙如图,求篱笆所围成的长方形面积是多少平方米?

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一个长方形的长是80米,宽是60米,以长为直径在两侧作两个半圆,形成一个环形跑道那么它的周长是多少?

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如图所示,运动场的两侧是两个半圆,它们的面积和为100πm,中间的长方形的长是宽的5倍。

  (1)求运动场的周长;

  (2)求出运动场的面积。

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一个长方形的长是100m,宽是40m,以宽为直径在两侧作两个半圆,形成一个环形跑道,那么它的周长是________m

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叶序现象与斐波那契数列

  你吃过菠萝么?仔细观察菠萝果实的排列状况,就会发现它们形成一种螺旋结构。使人惊异的是,这种排列的现象在植物的叶、鳞片、花等部分,几乎到处可见。

  再进一步研究一下这些排列的状况,它们通常是以顺时针方向或逆时针方向螺旋形层层排列的。如果数一下其中顺时针和逆时针排列的层数,就可发现这两个数是位于斐波那契数列中相邻的两个数。

  什么是斐波那契数列?斐波那契(1170-1240)是一位意大利的数学家。他在所写的《算盘书》一书中,提出了下面的问题。

  “有小兔子一对,如果它们第二个月成年,第三个月生下一对小兔,以后,每月生产小兔一对,而所生的小兔亦在第二个月成年,第三个月生产另一对小兔,此后也每个月生一对小兔。则一年后共有多少对兔子?(假设每产一对兔子必为一雌一雄,而所有兔子都可以相互交配,并且没有死亡。)

  分析:

  这样推算下去,每个月所生的兔子数可以排成下面的数列:

  1123581321345589144……

  我们把这一列数称为斐波那契数列。研究一下这一列数的规律,从第三项起每一个数都是排在它前面两个数的和。如

  2=113=125=238=3513=5821=813,…

  斐波那契数列可以无限地写下去。设表示其中的第n项,那么

  

  比如,我们上面排出的第11项是89,第12项是144,那么第13项应该是

  

以下各项依序是

  

  

  

  …   …    …

  生物学家研究了花序中小花排列的螺旋数,一般顺时针方向为21,逆时针方向为34,恰恰是斐波那契数列中的。又如向日葵花序中小花或籽粒的排列,顺时针螺旋数与逆时针螺旋数之比一般是1221()3455()89144(),在一些大型样本中,这个比值甚至为144233()。同样,生物学家研究了各种菠萝球形花的鳞片顺、逆时针的螺旋数,一般总是落在斐波那契数列35813相邻的两数中。

  为什么不同的植物都具有类似的螺旋?为什么这些螺旋圈数总是相邻的斐波那契数?兔子的繁衍与植物的花序之间为什么会有这样的联系,这些问题至今尚未得到令人满意的解答。目前,科学家们一般认为,对植物来说,斐波那契叶序是最节约能量的。

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2003年非典期间,每逢周六、周日育新中学初一()的全体同学都要向班主任刘老师汇报体温,怎样才能尽快地将班级60名同学的体温统计出来呢?

  (1)如果汇报的方式是打电话,而且每打一个电话需要1分钟,请讨论一下,设计出一个方案。

  (2)小明为此设计了一种方案:用表示60名同学。

  问:刘老师共接到了几次电话,一共需要几分钟?

  (3)小芳为此也设计了一种方案:她将班级同学分成了6个小组,每个小组有10名同学,安排1名同学当组长,其余9名同学将体温汇报给组长,组长再把体温汇报给刘老师。

  试问:同学们一共需要打几个电话?每个小组统计自己小组的体温需要几分钟?从同学开始向组长汇报到刘老师统计完全班同学的体温共需几分钟?

  (4)小强为此又设计了一种方案,他将班级同学分成了5个小组,方法和小芳一样。

  试问:刘老师一共接到几个电话?每个小组长接到几个电话?从同学开始向组长汇报到刘老师统计完全班同学的体温共需几分钟?

  (5)如果你是刘老师,你选小明、小芳还是小强的方案,说明道理?

  (6)你还有更快捷的设计方案吗?

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2003725日,世界青年女篮锦标赛在克罗地亚开战,参加这届世青赛的队伍共有12支。

  (1)第一阶段分两组进行单循环比赛,每个小组有________支球队,两个小组一共进行________场比赛。

  (2)中青队、阿根廷队、澳大利亚队、俄罗斯队、拉托维亚队、突尼斯队在这次比赛中被分在一组,则这一小组需要赛几场?请画出示意图。

  (3)第二阶段由小组前四名晋级八强,进行交叉淘汰赛。

  把8支球队依次编为ABCDEFCH,补全八强比赛的示意图;

  (4)一共要比赛________轮,就可以决出冠军和亚军来。

  (5)第二阶段一共要赛________场,可以决出冠军亚军来。

  (6)如果这12支球队一支采用单循环制,则一共要赛________场。如果每天安排3场比赛,全部比赛大约需要________天。

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2002年第十七届世界杯足球赛中,有32支球队参加比赛,分成8个小组,每组进行单循环比赛,中国队、巴西队、土耳其队、哥斯达黎加队被分在C组进行单循环比赛,如图。

  (1)2支球队连一条线段表示________

  (2)小组赛中每支球队的比赛场次为________场比赛。

  (3)这个小组一共进行了________场比赛。

  (4)世界杯足球赛中小组前两名进入第二阶段淘汰赛,则共有________支球队进入第二阶段。

  (5)第二阶段要赛________场就可以决出冠军和亚军来。

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同步练习册答案